등비수열

등비수열이란?

 

한 항과 다음 항의 비율이 같은 수열을 등비수열이라고 합니다.

 

예를 들어

4, 12, 36, 108 ...이라는 숫자가 있다고 보았을 때

12라는 숫자는 4로 나누었을 때 3이라는 숫자가 나옵니다.

36은 12라는 숫자로 나누었을 때 3이라는 숫자가 나오구요.

그러면 다시 4에서 3을 곱하면 12가나오죠 12에서 3을 곱하면 36이나오죠.

이렇 듯 공통비율을 가진 것들을 등비수열이라고 합니다.

모두 3배씩 증가하기 때문에 3을 공비라 하며, 첫번째 항을 초항이라고 합니다.

그렇다면 공비가 3이고 초항이 4인 등비수열이라고 표현할 수 있습니다.

 

등비수열에는 2개의 공식이 있습니다.

우리가 위에서 예를 들은 것을 넣어보죠.

만약 더할 숫자가 108까지 4, 12, 36, 108 이렇게 4개라고 하면

a = 4

r = 3

n = 4개를 대입했을 때,

4(3^4 - 1) / 3 - 1입니다.

4(80) / 2가 되며

320 / 2 = 160이 됩니다.

그러면 맞는지 확인해봅시다.

4 + 12 + 36 + 108은?

정확하네요.

수학자들은 똑똑합니다.

증명할 필요가 없어지네요

하 거참.

 

그렇다면 두번째 공식도 확인해보죠.

 

이거는 n이 무한대로 되었을 때와 r이 -1보다는 크고 1을 넘지 않는 숫자일 때 사용하는 공식입니다.

확인해보죠.

아까 첫번째 공식을 이용해서

a = 4

r = 3

n = ∞

라고 치면

a(r^ ∞ - 1) / r - 1인데

r^ ∞는 무엇일까요?

뭐 예를 들어 r이 아까 -1과 1을 넘지 않는다면 자연수로 치면 0일 텐데

뭐 1/2라고 치죠

그러면

이 순서대로 되겠죠? 그러면 거의 0에 가까워지죠?

거의 0에수렴합니다!

그러면 r^ ∞는 거의 0이라고 해도 무방하죠.

 

그럼 다시 식을 봅시다.

a(0-1) / r -1이 됩니다.

그럼 최종적으로 a / r - 1이되죠

우하하

맞네요

진짜 수학자들 거참.

아 뭐 일단 증명은 되었잖아요?

그런데 우리는 첫번째 공식을 자주 사용할 겁니다.

 

코드로 확인해보죠

뭐 우리가 아까 예를 들었던 

초항이 4 공비가 3 숫자의 개수가 4개일때를 코드로 작성해보죠.

 

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    int a = 4, r = 3, n = 4;
    
    vector<int> vec;
    cout << a *((int)pow(r, n) - 1) / (r - 1);
    
    cout << '\n';
    
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        vec.push_back(a);
        a *= r;
    }
    
    for (int i : vec)
        cout << i << ' ';
}

오 잘 나왔네요.

 

그럼 끄으틍